Приведенные ниже графики демонстрируют результаты модели­рования. Как видно из рис. 5.17, при использовании предложенного ме­тода управления манипулятор успешно проходит по заданной траектории с минимальной ошибкой позиционирования, график нормы которой по­казан на рис. 5.18 в сравнении с нормой ошибки, получающейся в резуль­тате применения классического метода.

Преимущества предложенного метода видны из анализа графиков обобщенных скоростей, которые приведены на рис. 5.19. Так, абсо­лютные значения скоростей второго привода оказались значительно меньше скоростей, получающихся при применении классического мето­да, где кривая скорости все время оказывалась за допустимой зоной и фактически переродилась в прямую линию из-за насыщения усилителя. Дополнительный анализ графиков показывает, что произошло это за счет более продуктивного использования возможностей приводов 3-го и 5-го звеньев: соответствующие скорости стали изменяться в гораздо более широких диапазонах.

Модель динамики приводов манипулятора была представлена сле­дующей упрощенной системой п независимых дифференциальных урав­нений:

Траектория L концевой точки представляет собой отрезок прямой вертикальной линии (см. рис. 5.15), описываемой уравнением

что соответствует равномерному прямолинейному движению схвата с постоянной скоростью 1,5 м/с. Начальная конфигурация манипулятора была выбрана таким образом, чтобы конечное звено составляло угол Пи/4 с траекторией движения.

Контроллер движения выполняет преобразование вектора операци­онной ошибки позиционирования, определяемой в декартовой сис­теме координат, в вектор ошибок приводовпо формуле обращения, которая непосредственно следует из уравнения (5.114):

где- обратная матрица Якоби.

Для исследования предложенного подхода используется матрица Яко­би в комбинации с весовой матрицей максимальных скоростей приводов:

где

Сравнение производится с классическим алгоритмом, описываемым следующим уравнением:

где

Модель усилителя с зоной насыщения представлена типовой систе­мой уравнений:

где ui – напряжение, выдаваемое на обмотки i-го приводного двигателя.

Проиллюстрируем вышесказанное на примере трехзвенного мани­пулятора, движущегося в плоскости вдоль заданной траектории. Данный манипулятор является избыточным для поставленной задачи движения, так как для ее выполнения достаточно двух степеней подвижности.

Для того чтобы порядок геометрических и кинематических парамет­ров модели соответствовал характеристикам реальных манипуляторов, выберем в качестве основы модели манипулятор "PUMA-560". Если пя­тое звено этого робота расположить в плоскости второго и третьего, то данная группа звеньев будет образовывать плоский трехзвенник. Эквива­лентное стержневое представление данной системы изображено на рис. 5.15.

Длины звеньев манипулятора принимаются соответственно для 2-, 3 – и 5-го звеньев: l2 = 0,434 м, l3 = 0,431 м, l5 = 0,297 м.

Высота колонны (звена 0 на рис. 5.15, а) составляет Н = 0,66 м.  Значения максимальных скоростей приводов определены экспери­ментально [ПО]:

Типичная система управления манипулятора может быть схематич­но представлена блок-диаграммой, представленной на рис. 5.16.

Для нахождения условного экстремума функции F* найдем произ­водные и приравняем их к нулю:

Из выражений (5.122) и (5.123) следует

Подставляя (5.124) в (5.122), имеем полученную ранее методом нормализованных переменных зависимость (5.120), что доказывает оп­тимальность найденного решения.

Для решения задачи перейдем к переменным, нормализованным по скорости. Для избыточных манипуляторов нормализованное выражение (5.116) имеет вид

где

Из уравнений (5.118), (5.119) получаем оптимальную зависимость для вектора обобщенных скоростей

Для доказательства оптимальности полученного решения восполь­зуемся классическим методом Лагранжа. В качестве критерия введем норму нормализованных обобщенных скоростей

Тогда задача локальной оптимизации сводится к нахождению ми­нимума функциипри условии Составим функцию Лагранжа:

где-вектор (т х 1) множителей Лагранжа.

Согласно методу RMRC управление манипулятором производится в соответствии с решением уравнения (5.114) относительно обобщенных скоростей:

где- псевдообратная матрица Якоби (и х т), которая определяется формулой; Е – единичная матрица (n х n),- произвольный вектор (n х
1), который может быть выбран в соответствии с используемым при оптимизации движения критерием качества.

Оптимальным решением, доставляющим минимум квадратичному критерию

будет вектор обобщенных скоростей манипулятора

Такой выбор критерия в рассматриваемой постановке задачи пред­ставляется вполне оправданным, так как минимизация нормы вектора обобщенных скоростей (38) может предотвратить насыщение усилите­лей. Однако, как показывает моделирование, этого не всегда удается до­биться в конкретных случаях.

В качестве примера рассмотрим задачу синтеза управления движе­нием манипулятора с учетом ограничений выходных сигналов силовых преобразователей приводов. Насыщение выходного усилителя даже в одном из приводов при выполнении сложного пространственного движе­ния приводит к фактической неуправляемости робота по этой координа­те. Причиной возникновения такой ситуации может быть, например, не­верная настройка ПИД-регулятора (особенно его интегральной состав-

ляющей) в условиях значительных изменений параметров нагрузки. При синтезе управления многостепенными и тем более избыточными мани­пуляторами эта проблема должна быть решена на этапе планирования движения.

Рассмотрим известный метод скоростного управления движением манипуляторов RMRC (Resolved Motion Rate Control), изложенный в ра­боте [114]. Для избыточного манипулятора, имеющего п степеней под­вижности, в от-мерном операционном пространстве (и > т) вектор скоро­сти концевой точки определяется выражением

где- матрица Якоби размерности (т х l);- вектор (п х 1) обоб­щенных скоростей,- вектор (n х 1) операционных скоростей.

Для переменных, нормализованных по силе в операционном про­странстве, используем весовую матрицу:

где

Матрицыявляются     матрицами инерции,

-     векторами центробежных и кориолисовых сил, а

-     векторами сил тяжести в соответствующих пространствах.

Анализируя полученные выражения, можно сделать вывод о том, что кинематические и динамические модели манипуляторов в нормали­зованной форме имеют привычный вид, идентичный традиционным мо­делям. При этом силовые и скоростные приводные ограничения учиты­ваются при формировании модели через введение нормализованных пе­ременных и матриц коэффициентов. Следовательно, разработанные кри­терии оптимизации алгоритмов планирования движений роботов могут применяться путем формальной замены переменных и весовых матриц.

Получим уравнение в переменных, нормализованных по скорости в операционном пространстве

где

Для переменных, нормализованных по силе в пространстве обоб­щенных координат, проводим аналогичные выкладки, но с использовани­ем матрицы:

где