Вектор скорости изображающей точки задается как сумма векторов  где - векторы координатного базиса риманова пространства Rn.

Система базисных векторов строится на основе равенства выраже­ний (5.41) и (5.43) в локальных точках пространства. Откуда определя­ются модули и взаимная ориентация векторов базиса:

где Iij – элементы тензора инерции I  (nх n) многозвенного механизма.

Таким образом, в общем случае базисные векторы являются нееди­ничными и неортогональными, так как элементы матрицы инерции зави­сят от конфигурации механизма. Поэтому модули и ориентация векторов базиса изменяются в процессе перемещения машины, что определяет риманов (нелинейный) характер метрики (5.40).

Рассмотрим структуру указанного риманова пространства. Его эле­ментами являются множество кинематически и динамически допустимых состояний мехатронной машины. Метрика пространства определяется из условия равенства мгновенных значений кинетической энергии изобра­жающей точки и кинетической энергии многозвенного механизма в каж­дой точке пространства.

Удвоенная кинетическая энергия исполнительного механизма при условии голономных и стационарных связей определяется как положи­тельно определенная квадратичная форма обобщенных скоростей:

Выражение (5.41) совпадает с определением введенного динамиче­ского инварианта (5.26). Следовательно, квадрат метрики риманова про­странства и динамический инвариант связаны соотношением

Движению многостепенной машины в обобщенных координатах ставится в динамическое соответствие движение условной изображаю­щей точки (рис. 5.10). Это тело единичной массы, перемещающееся в римановом пространстве. Кинетическая энергия изображающей точки определяется формулой

В первую очередь следует подчеркнуть принципиальное методоло­гическое отличие описания движения в тензорно-геометрическом методе от подходов, основанных на лагранжевом формализме. В предисловии к трактату "Аналитическая механика" (1788) Ж.-Л. Лагранж писал: "В этой работе совершенно отсутствуют какие бы то ни было чертежи. Излагае­мые мною методы не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических опера­ций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все любящие анализ с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой областью анализа…".

Геометрический подход к динамике стоит на противоположных по­зициях, которые сформулированы Дж.Л. Синджем: "Мы воскрешаем геометрический дух, столь тщательно изгнанный из работ Лагранжа и Гамильтона, и наглядно представляем себе движение системы, причем как движение единственной точки риманова и-мерного пространства".

Обзор первых работ в этой области дан в основополагающей книге проф. Дж.Л. Синджа [59], более детально подход изложен в книгах по аналитической механике (например, [33]). В статье [113] математическая

модель на основе данного параметра была использована для выбора ква­зиоптимальных траекторий и оценки времени перемещения манипулято­ра по заданному контуру.

Форма и соответственно сложность коэффициентов уравнения ди­намики вида (5.37) определяется выбранным параметром. В качестве па­раметра можно принять любую знакопостоянную функцию переменных состояния системы, которая:

•  имеет положительную производную по времени;

•  является стационарной функцией;

•  инвариантна к системе координат, используемой для ее вычис­ления.

Таким образом, лонгальный параметр X удовлетворяет перечислен­ным требованиям, однако не является единственно возможным. Так, акад. Г.С. Поспеловым для задач управления летательными аппаратами разработаны системы "с регулируемым ходом часов". В этих системах используется параметр, где- соответственно высота и скорость подъема аппарата.

Радикально упростить параметрическое уравнение динамики много­звенной системы позволяет введение параметра, предложенного проф. Дж.Л. Синджем. Производная по времени этого параметра (s) определя­ется полной кинетической энергией движущейся системы

Методология построения динамических моделей с данным парамет­ром, который будем называть кинетическим, базируется на геометриче­ской идее риманова пространства в приложении к задачам динамики.

Члены уравнения (5.37) вычисляются по формулам:

где- коэффициент силы инерции;- коэффициент центробежной и кориолисовой сил.

Правая часть уравнения (5.38) представляет собой скалярное произ­ведение векторов обобщенных сил и параметрических обобщенных ско­ростей:

Таким образом, динамический анализ n-степенного механизма сво­дится к решению одного дифференциального уравнения вида (5.37), в чем и состоит основное преимущество параметрических моделей. Ис­пользование в математических моделях лонгального параметра, который кажется наиболее естественным при программировании контурных дви­жений, требует вычисления коэффициентов инерциальной, центробеж­ной и кориолисовой сил вида (5.38). В системах управления реального времени, алгоритмы работы которых строятся на базе динамических мо­делей, организация таких процедур представляет серьезную вычисли­тельную проблему.

Так, в рассматриваемом примере (см. рис. 5.9) для траектории вида (5.32) имеем следующие зависимости для обобщенных координат:

Если функции (5.33) являются дважды дифференцируемыми по па­раметру , то получаем параметрические векторные функции для обоб­щенных скоростей и ускорений многозвенного механизма:

В общем случае параметрическая модель динамики многозвенного механизма на основе лонгального параметра имеет вид нелинейного дифференциального уравнения второго порядка:

Три компоненты векторасоставляют декартовые координаты ха­рактеристической точки рабочего органа, а три остальные задают эйлеро­вы углы, описывающие его ориентацию как твердого тела в декартовом пространстве. Скалярв дифференциальной геометрии называется лонгальным параметром.

Например, для полярного манипулятора, рабочий орган которого перемещается по прямолинейной траектории (рис. 5.9), параметрические функции (5.31) имеют следующий вид:

где х0, у0 – координаты начальной точки траектории (при- угол

наклона траектории к оси X.

Параметрическую траекторию вида (5.31), решив обратную задачу о положении, можно описать в обобщенной системе координат. В общем случае для n-степенного механизма получаем вектор-столбец параметри­ческих функций

где qi – обобщенные координаты механизма (i = 1,…,n).

Математическая модель в форме (5.29) удобна для синтеза регуля­торов исполнительных приводов, так как устанавливает непосредствен­ную связь между векторами обобщенных сил и ускорений. Однако для задач контурного управления она не вполне адекватна по следующим причинам:

- при программировании движений мехатронных машин закон дви­жения удобно задавать не в обобщенной, а в декартовой системе коор­динат;

-  система лагранжевых уравнений описывает машину как совокуп­ность отдельных (хотя и взаимосвязанных) подсистем, в то время как в практических приложениях наибольший интерес представляют динами­ческие характеристики машины как единого объекта;

-  высокая размерность систем уравнений затрудняет ее использова­ние для вычислений в реальном времени;

-  реализация алгоритмов динамического управления на исполни­тельном уровне зачастую технически невозможна, так как регуляторы приводов настраиваются фирмой-изготовителем и недоступны для поль­зователей.

Для построения параметрической модели траекторию рабочего ор­гана следует задать как функцию скалярного параметра (рис. 5.8):

где- вектор положения и ориентации рабочего органа в декартовой системе координат;- путь, пройденный рабочим органом вдоль траек­тории

В частности, для манипулятора с полярной системой координат (см. рис. 5.4) уравнение динамики (5.29) имеет вид

где коэффициенты уравнения задаются выражениями:

Первые слагаемые в уравнениях (5.30) представляют собой силы инерции, пропорциональные приведенным массам т1 и т2 соответст­вующих звеньев, которые определяются формулами (5.24). Блок-схема моделирования движений манипулятора с полярной системой координат приведена на рис. 5.7. Между степенями подвижности робота существует динамическое взаимовлияние, проявляющееся через действие центро­бежной силы на первое звено и кориолисовой – на второе звено робота, которые зависят от обобщенных координат и скоростей движения.

Многие автоматизированные технологические операции требуют контурного управления движением многозвенной мехатронной машины по заданной траектории. К ним относятся: дуговая сварка, лазерная и во­доструйная резка, зачистка заусенцев на сложных профилях. При синтезе движений мехатронных машин на операциях этого класса необходимо учитывать динамические факторы, которые обусловлены силовым взаи­модействием рабочего органа с объектом работ, а также взаимовлиянием степеней подвижности. Эффективность решения задачи контурного управления во многом определяется выбранной формой математической модели многостепенной машины как управляемого объекта.

Одним из наиболее распространенных формализмов для задач управления движением многомерных систем является модель динамики на основе уравнений Лагранжа второго рода. Для n-степенного механиз­ма математическая модель в лагранжевой форме имеет вид

где п – число степеней подвижности механизма;- векторы

(n х 1) соответственно обобщенных координат, скоростей и ускорений; - матрица инерции механизма, зависящая от его конфигурации;

- вектор (n х 1) центробежных и кориолисовых сил;- вектор (n х 1) обобщенных сил, приложенных к звеньям механизма.